Ruchowa średnia modelowa wariacja

Zbadanie średniej ruchomej średniej zmienności jest najczęstszym miernikiem ryzyka, ale ma kilka smaków. W poprzednim artykule pokazaliśmy, jak obliczyć prostą zmienność historyczną. Wykorzystaliśmy dane o kursach akcji Google do obliczania dziennej niestabilności w oparciu o 30 dni danych o zapasach. W tym artykule poprawimy prostą lotność i omówimy ważną średnią ruchową (EWMA). Historyczne Vs. Imponująca zmienność Najpierw należy umieścić ten wskaźnik w perspektywie. Istnieją dwa szerokie podejścia: domniemana i domniemana (lub ukryta) zmienność. Podejście historyczne zakłada, że ​​przeszłość jest prologiem mierzymy historię w nadziei, że jest ona przewidywalna. Z drugiej strony ignorowana jest historia, którą rozwiązuje za niestabilność wynikającą z cen rynkowych. Ma nadzieję, że rynek wie najlepiej i że cena rynkowa zawiera, nawet jeśli w sposób dorozumiany, konsensusową ocenę niestabilności. Jeśli chodzi o trzy historyczne podejścia (po lewej stronie powyżej), mają one dwa wspólne kroki: Oblicz cykl okresowych zwrotów Zastosuj schemat ważenia Po pierwsze, my, obliczyć okresowy powrót. To zazwyczaj szereg codziennych zwrotów, gdzie każdy powrót jest wyrażany w stale złożonych terminach. Dla każdego dnia przyjmujemy naturalny dziennik stosunku cen akcji (tzn. Dzisiejszej ceny podzielonej przez cenę w cenach, itd.). Powoduje to szereg codziennych zwrotów, od ui do u i-m. w zależności od tego ile dni (m dni) mierzymy. To prowadzi nas do drugiego kroku: tam są trzy różne podejścia. W poprzednim artykule (Wykorzystanie zmienności w celu oceny przyszłego ryzyka) wykazaliśmy, że w ramach kilku akceptowalnych uproszczeń prosta wariacja jest średnią kwadratowych zwrotów: Zwróć uwagę, że suma każdego z okresowych zwrotów, a następnie dzieli się na sumę liczba dni lub obserwacji (m). Więc, to naprawdę średnia wielkość kwadratowych zwrotów okresowych. Innymi słowy, każda kwadratowa powrót ma taką samą wagę. Jeśli więc alfa (a) jest czynnikiem ważącym (konkretnie 1m), wówczas prosta wariacja wygląda tak: EWMA poprawia się na prostej odmianie. Słabością tego podejścia jest to, że wszystkie zyski mają taką samą wagę. Wczorajsze (ostatnie) powroty nie mają większego wpływu na wariancję niż w zeszłym miesiącu. Problem ten jest ustalony przy użyciu średniej ruchomej (EWMA), w której większe odchylenia mają większy wpływ na wariancję. Średnia geometryczna (EWMA) wprowadza lambda. nazywanym parametrem wygładzania. Lambda musi być mniejsza niż jeden. W tym wariancie, zamiast równej wagi, każdy zwrócony kwadrat jest ważony przez mnożnik w następujący sposób: Na przykład firma RiskMetrics TM, firma zajmująca się zarządzaniem ryzykiem finansowym, zazwyczaj używa lambda w wysokości 0,94 lub 94. W tym przypadku pierwszy ( ostatni kwadratowy zwrotu jest po prostu lambda-wielokrotnością poprzedniej wagi w tym przypadku 6 pomnożonej przez 94 5,64. W trzecim przedziale czasowym wagi są równe (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Wyraża znaczenie wykładnicze w EWMA: każda masa jest stałym mnożnikiem (tj. Lambda, która musi być mniejsza niż jeden) masy poprzednich dni. Zapewnia to odmianę ważoną lub tendencyjną wobec najnowszych danych. (Aby dowiedzieć się więcej, przejrzyj arkusz programu Excel w celu zapewnienia płynności w programie Google). Różnica między po prostu zmiennością a EWMA dla Google jest pokazana poniżej. Prosta zmienność skutecznie waży każdego i każdego okresu powrotu o 0.196, jak pokazano w kolumnie O (mieliśmy dwa lata dziennych danych o cenach akcji, czyli 509 dziennych zwrotów i 1509 0.196). Ale zauważ, że kolumna P przypisuje wagę 6, potem 5,64, potem 5,3 itd. To jedyna różnica między prostą odchyleniem a EWMA. Pamiętaj: Po sumie całej serii (w kolumnie Q) mamy wariancję, która jest kwadratem odchylenia standardowego. Jeśli chcemy zmienności, musimy pamiętać o podstawie kwadratowej tej odmienności. Jaka jest różnica dziennej zmienności pomiędzy wariancją a EWMA w przypadku firmy Google: Istotna: prosta wariacja dała nam dzienną zmienność na poziomie 2,4, ale EWMA dała dzienną zmienność tylko 1,4 (szczegóły są dostępne w arkuszu kalkulacyjnym). Widocznie, zmienność języka Google sięgnęła ostatnio, dlatego prosta wariacja może być sztucznie wysoka. Dzisiejsza wariacja jest funkcją wariantów dni Piora Zauważmy, że musimy obliczyć długi szereg wykładniczo malejących ciężarów. Nie będziemy tu robić matrycy, ale jedna z najlepszych cech EWMA polega na tym, że cała seria wygodnie się zmniejsza do formuły rekurencyjnej: Rekursywne oznacza, że ​​dzisiejsze odchylenia od wariancji (tj. Jest funkcją wariancji poprzednich dni). Taką formułę można znaleźć również w arkuszu kalkulacyjnym i daje dokładnie taki sam wynik, jak obliczenia długoterminowe. Mówi się: wariancja Dzisiejsza (pod EWMA) jest równa wariancji wczorajszej (ważyła lambda) plus wczorajsze kwadranse zwrócone (ważyło się o jedną minus lambda). Zauważmy, jak po prostu dodajemy dwa terminy: wczorajsza ważona wariacja i wczoraj ważone, kwadratowe powrót. Mimo to lambda jest naszym parametrem wygładzania. Wyższa lambda (np. RiskMetrics 94) wskazuje na wolniejsze zanikanie w serii - w kategoriach względnych, będziemy mieli więcej punktów danych w serii i będą padać wolniej. Z drugiej strony, jeśli zmniejszymy lambda, wskazujemy wyższy zanik: masy spadają szybciej i, w bezpośrednim wyniku szybkiego zaniku, wykorzystuje się mniej punktów danych. (W arkuszu kalkulacyjnym lambda jest wejściem, więc możesz eksperymentować z jego wrażliwością). Podsumowanie Zmienność to chwilowe odchylenie standardowe dla zapasów i najczęstszych miar ryzyka. Jest to również pierwiastek kwadratowy wariancji. Możemy zmierzyć wariancję historycznie lub domyślnie (domniemana zmienność). Podczas pomiaru historycznego najprostszą metodą jest prosta odmiana. Ale słabość z prostą odmianą jest taka, że ​​wszystkie zwroty mają taką samą wagę. Więc mamy do czynienia z klasycznym kompromisem: zawsze chcemy więcej danych, ale im więcej danych, tym bardziej nasze obliczenia są rozmyte danymi odległymi (mniej istotnymi). Średnia średnica ruchoma (EWMA) zwiększa się w prostej wariancie, przypisując wagi okresowym zwrotom. Dzięki temu możemy zarówno użyć dużego rozmiaru próbki, jak i większej wagi do najnowszych wyników. (Aby zobaczyć samouczek filmowy na ten temat, odwiedź Turion Bionic). Artykuł 50 jest klauzulą ​​negocjacyjno-rozliczeniową zawartą w traktacie UE, w której przedstawiono kroki, które należy podjąć dla każdego kraju. Beta jest miarą zmienności lub systematycznego ryzyka bezpieczeństwa lub portfela w porównaniu z rynkiem jako całości. Rodzaj podatku od zysków kapitałowych poniesionych przez osoby prywatne i korporacje. Zyski kapitałowe to zyski inwestora. Zamówienie zakupu zabezpieczenia z lub poniżej określonej ceny. Zlecenie z limitem kupna umożliwia określenie podmiotów gospodarczych i inwestorów. Reguła Internal Revenue Service (IRS), która umożliwia wycofanie bez kary z konta IRA. Reguła wymaga tego. Pierwsza sprzedaż akcji przez prywatną firmę do publicznej wiadomości. IPO są często emitowane przez mniejsze, młodsze firmy poszukujące. 8.4 Ruchome modele średnie Zamiast używać przeszłych wartości zmiennej prognozowanej w regresji, model średniej ruchomości wykorzystuje poprzednie błędy prognozy w modelu regresji. y c t etta etta k etta, gdzie et jest białym szumem. Odnoszę się do tego jako model typu MA (q). Oczywiście nie obserwujemy wartości et, więc nie jest to regresja w zwykłym sensie. Zauważ, że każda wartość yt może być traktowana jako ważona średnia ruchoma ostatnich kilku błędów prognozy. Nie należy jednak mylić średnich ruchomej z ruchomej wygładzonej średniej, o której mówiliśmy w rozdziale 6. W celu oszacowania cyklu trendu wcześniejszych wartości wykorzystywany jest średnioroczny model prognozowania przyszłych wartości, podczas gdy ruchome średnie wygładzenie jest używane do szacowania cyklu trendu ostatnich wartości. Rysunek 8.6: Dwa przykłady danych z ruchomych średnich modeli o różnych parametrach. Lewo: MA (1) z y t 20e t 0.8e t-1. Po prawej: MA (2) z y t e t e t-1 0,8e t-2. W obu przypadkach, e t jest normalnie rozproszonym białym hałasem ze średnią zerem i wariancją. Rysunek 8.6 przedstawia niektóre dane z modelu MA (1) i modelu MA (2). Zmiana parametrów theta1, kropki, thetaq powodują, że różne wzorce serii czasowych. Podobnie jak w modelach autoregresywnych, wariancja warunku błędów et zmieni tylko skalę serii, a nie wzorców. Możliwe jest pisanie dowolnego stacjonarnego modelu AR (p) jako modelu MA (infty). Na przykład, używając powtórzonej podstawy, możemy to udowodnić za model AR (1): rozpocznij yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 i et phi fiordy phi12e phi1 i koniec amptext Pod warunkiem -1 lt phi1 lt 1, wartość phi1k będzie mniejsza, gdy k powiększy się. Więc ostatecznie otrzymujemy yt et phi1 e phi12 e phi13 e cdots, proces MA (infty). Wynik odwrotny utrzymuje się, jeśli wprowadzamy pewne ograniczenia parametrów MA. Następnie model MA nazywa się odwracalnym. Oznacza to, że możemy pisać dowolny proces odwracalny MA (q) jako proces AR (infty). Modele odwracalne nie tylko umożliwiają nam konwersję z modeli MA na modele AR. Mają także pewne właściwości matematyczne, które ułatwiają ich stosowanie w praktyce. Ograniczenia inwersji są podobne do ograniczeń stacjonarnych. Dla modelu MA (1): -1lttheta1lt1. Dla modelu MA (2): -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - eta2l1. Bardziej skomplikowane warunki zachowują się dla qge3. Ponownie R zajmuje się tymi ograniczeniami podczas szacowania modeli.2.1 Ruchome modele średnie (modele MA) Modele serii czasowej znane jako modele ARIMA mogą obejmować terminy autoregresji i średnioroczne średnie ruchy. W pierwszym tygodniu dowiedzieliśmy się, że termin autoregresji w modelu szeregów czasowych dla zmiennej x t jest opóźnioną wartością x t. Na przykład terminem autoregresji 1 opóźnienia jest x t-1 (pomnożony przez współczynnik). Ta lekcja definiuje ruchome średnie terminy. Ruchoma średnia wersja w modelu szeregów czasowych jest błędem w przeszłości pomnożonym przez współczynnik. Niech (przewyższa N (0, sigma2w)), co oznacza, że ​​w t są identycznie, niezależnie rozdzielane, każdy z normalnym rozkładem mającym średnią 0 i tę samą wariancję. Średni model średniej ruchomej, oznaczony symbolem MA (1) to (xt mu wt atta1w) Średni model ruchu średniego rzędu, oznaczony symbolem MA (2) to (xt mu wt atta1w theta2w) , oznaczone literą MA (q) jest (xt mu wt theta2w kropka thetaqw) Uwaga. Wiele podręczników i programów definiuje model z negatywnymi znakami przed terminami. To nie zmienia ogólnych teoretycznych właściwości modelu, chociaż odwraca znaki algebraiczne oszacowanych wartości współczynników i (niezakłóconych) w formułach ACF i wariancji. Musisz sprawdzić oprogramowanie w celu sprawdzenia, czy użyto negatywnych lub pozytywnych oznaczeń w celu poprawnego zapisania szacowanego modelu. R używa pozytywnych oznaczeń w swoim modelu bazowym, tak jak tutaj. Właściwości teoretyczne serii czasowej z modelem MA (1) Należy pamiętać, że jedyną niższą wartością w teoretycznym ACF jest opóźnienie 1. Wszystkie inne autokorelacje wynoszą 0. Tak więc próbka ACF o znacznej autokorelacji tylko w punkcie 1 jest wskaźnikiem możliwego modelu MA (1). Dla zainteresowanych studentów, dowody dotyczące tych właściwości stanowią załącznik do niniejszego materiału informacyjnego. Przykład 1 Załóżmy, że model MA (1) wynosi x t 10 w t .7 w t-1. gdzie (nadwrażliwość N (0,1)). Współczynnik 1 0,7. Teoretyczny ACF podano w poniższym wykresie ACF. Przedstawiona fabuła jest teoretycznym ACF dla MA (1) z 1 0,7. W praktyce próbka zazwyczaj nie dostarcza tak wyraźnego wzorca. Używając R, symulujemy 100 wartości próbek przy użyciu modelu x t 10 w t .7 w t-1, gdzie w t iid N (0,1). W tej symulacji powstaje ciąg szeregowy danych przykładowych. Nie możemy wiele powiedzieć z tej fabuły. Poniżej znajduje się próbka ACF dla danych symulowanych. Widzimy skok w punkcie 1, a następnie ogólnie wartości nieistotne dla opóźnień 1. Pamiętaj, że próbka ACF nie jest zgodna z teoretycznym wzorem MA (1) leżącego u podstawy, co oznacza, że ​​wszystkie autokorelacje w przypadku opóźnień 1 będą 0 Inna próbka miałaby nieco inną próbkę ACF pokazaną poniżej, ale najprawdopodobniej miałyby takie same cechy. Właściwości terapeutyczne serii czasowej z modelem MA (2) Dla modelu MA (2), właściwości teoretyczne są następujące: Należy zauważyć, że jedynymi wartościami niezonarnymi w teoretycznym ACF są opóźnienia 1 i 2. Autokorelacje dla wyższych opóźnień to 0 Więc próba ACF o znacznych autokorelacjach w przypadku opóźnień 1 i 2, ale nieistotne autokorelacje dla wyższych opóźnień wskazują na możliwy model MA (2). iid N (0,1). Współczynniki wynoszą 1 0,5 i 2 0,3. Ponieważ jest to MA (2), teoretyczny ACF będzie miał wartości inne niż z opóźnieniami 1 i 2. Wartości dwóch niezerowych autokorelacji to wykres A teoretycznej ACF. Jak prawie zawsze jest tak, dane próbki nie zachowują się tak doskonale jak teoria. Symulujemy n 150 wartości próbek dla modelu x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. gdzie w t iid N (0,1). Sporządza się szeregowy szereg danych. Podobnie jak w przypadku szeregów czasowych dla danych próbki MA (1), niewiele można powiedzieć o tym. Poniżej znajduje się próbka ACF dla danych symulowanych. Wzór jest typowy dla sytuacji, gdy model MA (2) może być użyteczny. Istnieją dwa statystycznie istotne skoki przy opóźnieniach 1 i 2, po których następują nieistotne wartości dla innych opóźnień. Zauważ, że z powodu błędu pobierania próbek próbka ACF nie pasowała dokładnie do teoretycznego wzoru. ACF dla modeli MA (q) Modeli Ogólną cechą modeli MA (q) jest to, że dla wszystkich pierwszych opóźnień q i autokorelacji 0 dla wszystkich luków gtq istnieją autokorelacje nie zerowe. Niepowtarzalność połączenia pomiędzy wartościami 1 i (rho1) w modelu MA (1). W modelu MA (1) dla dowolnej wartości 1. odwrotny 1 1 daje taką samą wartość jak dla przykładu, użyj 0,5 dla 1. a następnie użyj 1 (0.5) 2 dla 1. Otrzymasz (rho1) 0,4 w obu przypadkach. Aby zaspokoić teoretyczne ograniczenie zwane "invertibility". ograniczamy modele MA (1) do wartości z wartością bezwzględną mniejszą niż 1. W podanym przykładzie, 1 0,5 będzie dopuszczalną wartością parametru, podczas gdy 1 10,5 2 nie będzie. Odwrotność modeli MA Model macierzowy jest odwracalny, jeśli jest on algebraiczny, odpowiadający modelowi zbiegającemu się z nieskończonym modelem AR. Zbiegając się, rozumiemy, że współczynniki AR spadają do 0, gdy wracamy w czasie. Inwersja to ograniczenie zaprogramowane w oprogramowanie serii czasowej służące do oszacowania współczynników modeli z hasłami. To nie coś, co sprawdzamy w analizie danych. Dodatkowe informacje o ograniczeniu inwersji dla modeli MA (1) podano w dodatku. Uwagi dotyczące teorii zaawansowanej. W modelu MA (q) z określonym ACF jest tylko jeden model odwracalny. Warunkiem koniecznym do odwrócenia jest fakt, że współczynniki mają takie wartości, że równanie 1- 1 y-. - q y q 0 ma rozwiązania dla y, które leżą poza okręgiem jednostkowym. R dla przykładów W przykładzie 1 wykreślono teoretyczny ACF modelu x t 10 w t. 7w t-1. a następnie symulowane n 150 wartości z tego modelu i wykreślono szereg próbkowania i próbkę ACF dla danych symulowanych. Polecenia R służące do sporządzenia teoretycznej ACF to: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 opóźnień ACF dla MA (1) z theta1 0,7 lags0: 10 tworzy zmienną o nazwie opóźnienia w zakresie od 0 do 10 (h0) dodaje osi poziomej do wykresu Pierwsze polecenie określa ACF i zapisuje je w obiekcie (np. o nazwie acfma1 (nasz wybór nazwy). Polecenie wydruku (trzecie polecenie) powoduje błędy w porównaniu do wartości ACF dla opóźnień 1 do 10. Parametr ylab etykietuje na osi y, a główny parametr umieszcza tytuł na wykresie. Aby zobaczyć wartości liczbowe ACF, użyj komendy acfma1. Symulacje i wykresy zostały wykonane za pomocą następujących poleceń. xcarc. sim (n150, lista (mac (0.7))) Symuluje n 150 wartości z MA (1) xxc10 dodaje 10 do średniej 10. Domyślnie domyślne symulacje to 0. wykres (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) acf (x, xlimc (1,10), mainACF dla symulowanych danych próbki) W przykładzie 2 wymyśliliśmy teoretyczny ACF modelu xt 10 wt5 w t-1 .3 w t-2. a następnie symulowane n 150 wartości z tego modelu i wykreślono szereg próbkowania i próbkę ACF dla danych symulowanych. Stosowane komendy R to acfma2ARMAacf (mac (0.5.0.3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typh, główny ACF dla MA (2) z theta1 0,5, (x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, y) mainACF dla symulowanych danych MA (2)) Dodatek: Dowód właściwości MA (1) Dla zainteresowanych studentów są dowody na teoretyczne właściwości modelu MA (1). Variance: (text (xt) text (mu wt theta1 w) tekst 0 (wt) tekst (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Kiedy h 1, poprzedni wyrażenie 1 w 2. W przypadku dowolnego h2, poprzednie wyrażenie 0 Powodem jest to, że z definicji niezależności wag. E (w k w j) 0 dla dowolnej kj. Ponadto, ponieważ w t oznaczają 0, E (wjwj) E (wj2) w2. W serii czasów Zastosuj ten wynik, aby uzyskać ACF podany powyżej. Inwersyjny model MA to taki, który można zapisać jako model AR nieskończonego zamówienia, który zbiega się tak, że współczynniki AR zbiegają się do 0, gdy poruszamy się nieskończenie wstecz w czasie. Dobrze wykazać inwersję modelu MA (1). Następnie zastępujemy relację (2) dla t-1 w równaniu (1) (3) (zt wt theta1 (z-taleta) wt theta1z-tal2w) W czasie t-2. równanie (2) staje się Następnie zastępujemy związek (4) dla t-2 w równaniu (3) (zt wt theta1 z - theta21w wt theta1z - eta21 (z-taleta) wt theta1z - eta12z theta31w) Gdybyśmy kontynuowali ( nieskończoność) dostaniemy model nieskończonej AR (zt wt theta1 z - theta21z theta31z-theta41z dots) Zauważ jednak, że jeśli 1 1, współczynniki mnożące opóźnienia z będą wzrastać (nieskończenie) w rozmiarze, gdy wracamy z powrotem czas. Aby temu zapobiec, potrzebujemy 1 lt1. Jest to warunek odwracalnego modelu MA (1). Model nieskoordynowanych zamówień MA W trzecim tygodniu widzimy, że model AR (1) można przekształcić w model MA nieskończonego rzędu: (xt - mu wt phi1w phi21w kropki phik1 w kropkach sumy fij1w) To sumowanie wcześniejszych białych szumów jest znane jako przyczynę reprezentacji AR (1). Innymi słowy, x t jest specjalnym rodzajem magistra z nieskończoną liczbą terminów z czasem. Nazywa się to nieskończoną kolejnością MA lub MA (). Kończy się rozkazem MA jest nieskończona kolejność AR, a dowolny porządek AR jest rzędem nieskończonym rzędu. Przypomnijmy sobie w tygodniu 1, zauważyliśmy, że wymóg stacjonarnego AR (1) polega na tym, że 1 lt1. Pozwala obliczyć Var (xt) używając reprezentacji przyczynowej. W ostatnim kroku używa się podstawowych faktów dotyczących serii geometrycznych, które wymagają (phi1lt1), w przeciwnym razie serie rozbieżności. NavigationGARCH i EWMA 21 maja 2017 r. Przez David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: Porównanie, kontrast i obliczanie podejść parametrycznych i nieparametrycznych w celu oszacowania zmienności warunkowej 8230 W tym: PODEJŚCIE GARCH Z uwzględnieniem: WYKONANIA EKONOMICZNE (EWMA) Wyrównywanie wykładnicze (warunek parametryczny) Nowoczesne metody przynoszą większą wagę do najnowszych informacji. Zarówno EWMA, jak i GARCH wiążą się z ostatnimi informacjami. Ponadto, ponieważ EWMA jest szczególnym przypadkiem GARCH, zarówno EWMA, jak i GARCH wykorzystują wyrównywanie wykładnicze. GARCH (p, q), a zwłaszcza GARCH (1, 1) GARCH (p, q) jest ogólnym, autoregresywnym warunkowym modelem heteroskedastycznym. Kluczowe aspekty obejmują: Autoregresywne (AR). wariancja tomorrow8217s (lub zmienność) jest regresywną funkcją today8217s variance8212it rejestruje na siebie warunkowe (C). jana8217s wariancja depends8212 jest uzależniona od ostatniego wariancji. Warunek bezwarunkowy nie byłby uzależniony od wariancji Heteroskedastic (H) z dnia dzisiejszego8217. wariancje nie są stałe, przepływają przez czas GARCH ustępuje 8220lagged8221 lub historycznie. Obowiązującymi warunkami są wariacje lub kwadratowe zwroty. Generatywny model GARCH (p, q) rejestruje się na zwrocie kwadratowym (p) i (q). Zatem GARCH (1, 1) 8220lags8221 lub wycofuje się z poprzedniego okresu 8217s (tj. Tylko 1 zwraca) i ostatnią wersję 8217s (tj. Tylko 1 wariancję). GARCH (1, 1) podane przez następujące równanie. Ta sama formuła GARCH (1, 1) może być podana z parametrami greckimi: Hull pisze takie same równanie GARCH jak: Pierwszy termin (gVL) jest ważny, ponieważ VL jest średnią długookresową wariancją. Dlatego (gVL) jest produktem: jest ważoną średnią wariancją długoterminową. Model GARCH (1, 1) rozwiązuje wariancję wariancji w funkcji trzech zmiennych (poprzednia wariacja, poprzednia return2 i wariacja długoterminowa): Trwałość to funkcja osadzona w modelu GARCH. Wskazówka: w powyższych wzorach trwałość to (b c) lub (alfa-1 beta). Trwałość odnosi się do szybkości powrotu (lub powolności) wariancji do 8220 lub do 82221 w kierunku średniej długości. Wysoka uporczywość oznacza spowolnienie procesu spowolnienia i powolne wyrównywanie 8220 do średniej 8221 niskiej wytrwałości równa jest szybkiemu zaniku i szybkiej 8220 rewersji do średniej.8221 Wytrwałość równa 1,0 oznacza nieznaczne odwrócenie. Występowanie mniej niż 1,0 oznacza 8220 odwrotność do średniej, 8221, gdzie niższa trwałość pociąga za sobą większe odchylenie do średniej. Wskazówka: Jak wyżej, suma wag przypisana do opóźnionej wariancji i powrót z opóźnieniem do kwadratu jest wytrwałością (wytrwałość bc). Wysoka trwałość (większa od zera, ale mniej niż jedna) implikuje powolne odwrócenie się do średniej. Ale jeśli odważniki przypisane do opóźnionej wariancji i opóźnienia do kwadratu są większe niż jeden, model jest niestacjonarny. Jeśli (bc) jest większa niż 1 (jeśli bc gt 1) model jest niestacjonarny, a według Hull niestabilny. W takim przypadku preferowana jest EWMA. Linda Allen mówi o GARCH (1, 1): GARCH jest zarówno 8220compact8221 (tzn. Stosunkowo prosty) i niezwykle dokładny. Modele GARCH przeważają w badaniach naukowych. Próbowano wiele odmian modelu GARCH, ale kilka zostało ulepszonych w oryginale. Wadą modelu GARCH jest jego nieliniowość Przykład: Rozwiązanie wariancji długoterminowej w GARCH (1,1) Rozważmy równanie GARCH (1, 1) poniżej: Załóżmy, że: parametr alfa 0.2, parametr beta 0.7, i zauważ, że omega to 0,2, ale don8217t pomyłka omega (0,2) dla długoterminowej wariancji Omega jest produktem gamma i długoterminowej wariancji. Tak więc, jeśli alpha beta 0.9, to gamma musi wynosić 0,1. Biorąc pod uwagę, że omega wynosi 0,2, wiemy, że wariacja długoterminowa musi wynosić 2,0 (0,2 184 0,1 2,0). GARCH (1,1): Jedyna różnica notacji pomiędzy Hull i Allen EWMA jest szczególnym przypadkiem GARCH (1,1) a GARCH (1,1) jest ogólnym przypadkiem EWMA. Najważniejszą różnicą jest to, że GARCH zawiera dodatkowy termin dla średniej rewersji, a EWMA brakuje średniej rewersji. Oto jak dostajemy od GARCH (1,1) do EWMA: Pozwólmy 0 i (bc) 1, tak że powyższe równanie upraszcza do: Jest to obecnie równoważne wzorowi dla średniej ruchomej wykładniczej (EWMA): W EWMA parametr lambda określa teraz 8220: 8221 lambda zbliżona do jednej (wysoka lambda) wykazuje powolne rozpad. RiskMetrics RiskMetricsTM Approach jest markową formą podejścia opartego na wykładniczo ważonej średniej ruchomej (EWMA): optymalna (teoretyczna) lambda różni się w zależności od klasy aktywów, ale całkowity optymalny parametr używany przez RiskMetrics wynosi 0,94. W praktyce RiskMetrics wykorzystuje tylko jeden współczynnik zaniku dla wszystkich serii: 183 0,94 dla danych dziennych 183 0,97 dla danych miesięcznych (miesiąc określony jako 25 dni handlowych) Technicznie, modele dzienne i miesięczne są niespójne. Są jednak łatwe w obsłudze, przybliżają zachowanie rzeczywistych danych i są solidne do określenia błędów. Uwaga: GARCH (1, 1), EWMA i RiskMetrics są parametryczne i rekurencyjne. Zalety i wady rekursywne EWMA i wady MA (tj. STDEV) vs GARCH Graficzne podsumowanie metod parametrycznych przypisujących większą wagę do ostatnich zwrotów (GARCH amp EWMA) Podsumowanie porad: GARCH (1, 1) jest uogólnionym narzędziem RiskMetrics, a na odwrót RiskMetrics ograniczony przypadek GARCH (1,1), gdzie 0 i (bc) 1. GARCH (1, 1) podaje się przez: Trzy parametry to wagi, a zatem suma do jednej: Wskazówka: Uważaj na pierwszą kadencję w GARCH (1, 1) równanie: omega () gamma () (średnia długookresowa wariacja). Jeśli zostanie poproszony o wariancję, może być konieczne podzielenie ciężaru w celu obliczenia średniej wariancji. Określ, kiedy i czy w oszacowaniu zmienności należy zastosować model GARCH lub EWMA W praktyce współczynniki wariancji wydają się średnio odwracać, model GARCH (1, 1) jest teoretycznie lepszy (8220 bardziej atrakcyjny niż 8221) do modelu EWMA. Pamiętaj, że ta różnica jest duża: GARCH dodaje parametr, który odważa średnią długookresową, a zatem zawiera średnie odwrócenie. Wskazówka: preferowany jest GARCH (1, 1), chyba że pierwszy parametr jest ujemny (co sugeruje, jeśli alfa-beta 1). W tym przypadku GARCH (1,1) jest niestabilny i preferowana jest EWMA. Wyjaśnij, jak szacunki GARCH mogą dostarczyć prognoz bardziej dokładnych. Średnia ruchoma oblicza wariancję w oparciu o obserwujące się okno obserwacji np. poprzednie dziesięć dni, poprzednie 100 dni. Istnieją dwa problemy z przeciętną średnią (MA): Funkcja optyma - lizowania: gwałtowne wstrząsy (gwałtowne wzrosty) są nagle włączane do metryki MA, a następnie, gdy okno końcowe przechodzi, gwałtownie spadają z obliczeń. W związku z tym metryka MA będzie się zmieniać w stosunku do wybranej długości okna Informacje o trendach nie są uwzględniane Szacunki GARCH poprawiają te słabości na dwa sposoby: Większe wagi mają nowe uwagi. Przezwycięga to złudzenie, ponieważ szok zmienności natychmiast wpłynie na oszacowanie, ale jego wpływ stopniowo zanika w miarę upływu czasu. Dodano termin dodania rewersji do średniej. Wyjaśnij, jak wytrwałość jest związana z przejściem na średnią. Biorąc pod uwagę równanie GARCH (1, 1): Trwałość jest wyrażona przez: GARCH (1, 1) jest niestabilny, jeśli trwałość gt 1. Wytrwałość 1.0 oznacza brak średniego odwrócenia. Niska trwałość (na przykład 0,6) wskazuje na szybki zanik i wysoki poziom do średniej. Wskazówka: GARCH (1, 1) ma trzy wagi przypisane trzem czynnikom. Trwałość jest sumą wag przypisanych zarówno do opóźnionej wariancji, jak i do powrotu z opóźnieniem. Drugą wagę przypisuje się wariancji długoterminowej. Jeśli trwałość P i ciężar G przypisano do wariancji długoterminowej, a następnie PG 1. W związku z tym, jeśli P (trwałość) jest wysoka, to G (średnia rewersja) jest niska: trwała seria nie jest zdecydowanie odwracająca, wykazuje 8220-letni zanik 8221 w kierunku oznaczać. Jeśli P jest mała, to G musi być wysoka: impersentna seria zdecydowanie oznacza odwrócenie jej eksponat 8220rapid decay8221 w kierunku średniej. Średnia, bezwarunkowa odchylność modelu GARCH (1, 1) przedstawia się następująco: Wyjaśnij, jak systematycznie rabuje starsze dane EWMA i identyfikuje czynniki zaniku dziennego i miesięcznego RiskMetrics174. Średnia ważona średnią ruchoma (EWMA) jest wyrażona przez: Powyższy wzór stanowi rekursywne uproszczenie serii EWMA 8220true8221, które podaje się: W seriach EWMA każda masa przypisana do kwadratowych wartości zwrotu jest stałą proporcją poprzedniej wagi. W szczególności, lambda (l) jest stosunkiem pomiędzy sąsiednimi ciężarami. W ten sposób starsze dane są systematycznie dyskontowane. Systematyczny rabat może być stopniowy (powolny) lub nagły, w zależności od lambda. Jeśli lambda jest wysoka (np. 0,99), wówczas dyskontowanie jest bardzo powolne. Jeśli lambda jest niska (na przykład 0,7), dyskontowanie jest bardziej nagłe. Czynniki zuycia RiskMetrics TM: 0.94 dla danych dziennych 0.97 dla danych miesięcznych (miesiąc zdefiniowany jako 25 dni handlowych) Wyjaśnij, dlaczego korelacje prognozowania mogą być ważniejsze niż prognozowanie zmienności. Przy mierzeniu ryzyka portfela korelacje mogą być ważniejsze niż indywidualna zmienność wariancji. Dlatego w odniesieniu do ryzyka portfela prognoza korelacji może być ważniejsza niż indywidualne prognozy zmienności. Użyj GARCH (1, 1) w celu prognozowania zmienności oczekiwanej przyszłej różnicy w przedziałach t (t) podaje się następująco: Na przykład załóżmy, że bieżące oszacowanie zmienności (okres n) jest podane przez następujące GARCH (1, 1 ): W tym przykładzie alpha to masa (0.1) przypisana do poprzedniego kwadratu (poprzednia wartość to 4), beta oznacza wagę (0.7) przypisaną do poprzedniej wariancji (0.0016). Jaka jest oczekiwana zmienność w przyszłości, w ciągu dziesięciu dni (n 10) Najpierw rozwiązać problem długoterminowej wariancji. Nie jest to 0.00008 termin ten jest wynikiem wariancji i jego wagi. Ponieważ masa musi wynosić 0,2 (1 - 0,1-0,7), wariancję długoterminową 0,0004. Po drugie potrzebujemy aktualnej wariancji (okres n). To nam niemal nadano: teraz możemy zastosować formułę do rozwiązania dla oczekiwanej przyszłej różnicy: jest to oczekiwana zmienność, więc oczekiwana zmienność wynosi około 2,24. Zauważ, jak to działa: aktualna zmienność wynosi około 3,69, a długoterminowa zmienność wynosi 2. 10-dniowa projekcja projekcji 8220fades8221 jest aktualną stopą zbliżoną do długoterminowej. Prognozowanie niestabilności wariancji